ПИФАГОРИКИ
Проект "В мире ломаных чисел"
Мы команда «Пифагорики».
В нашем квартете только энергичные, веселые, умные, ответственные и любознательные пифогорята.
Мы все очень разные, но собравшись вместе, смогли найти общий знаменатель, который и приведет нас к долгожданной победе!
А сейчас немного расскажем о себе:
Даша - стратег, делает все возможное для того, чтобы добиться поставленной цели.
Илария - компьютерный гений, в любое время поможет с непонятными вопросами.
Маша - гуманитарий, фантастически и логически думает (иногда даже до взрыва мозга).
Миша- наш ученый, всегда выручает в решении сложных задач.
Именно на уроках математики мы узнаем много нового и интересного, поэтому решили принять участие в проекте «В мире ломаных чисел».
Если что-то мы не знаем - обязательно познаем!
Руководитель
Мешулина Людмила Борисовна
Наша школа
Муниципальное общеобразовательное учреждение "Андреевская средняя общеобразовательная школа имени героя Российской Федерации Курганова Алексея Сергеевича"
Первый этап
Общий знаменатель
Дроби разные бывают,
Они жизнь нам упрощают.
Подсчитаем, посчитаем -
Математиками станем!
Дроби есть и сложные:
Римские и вавилонские.
Правила скорей учи,
Посчитать нам помоги!
А.Степанов - юный поэт, ученик
8 класса "Андреевской СОШ"
Эссе
Возможна ли жизнь без дробей?
Дроби... Многие считают, их самыми обычными числами. Правильно ли
это? Давайте разберемся.
Несмотря на древнее происхождение дробей, мы используем их и по сей
день. Первые понятия дроби начали применять еще в Древнем Египте. Сначала была половина (1/2). Постепенно стали появляться четверти (1/4), трети (1/3) и т.д. Дроби необходимы и в современном мире: взрослым и детям часто приходится сталкиваться с проблемами деления целого числа на части.
Вы часто спросите: "Который час?", и вам ответят: "Без четверти десять",
"Половина второго", "Четверть пятого". Это же и есть дроби! Удивлены?
Дроби нередко применяются и в медицине. Например, когда врач
назначает пациенту принимать 1/2 лекарства два раза в день. Тут главное правильно рассчитать пропорцию - не навредить.
Люди применяют удивительные числа в строительстве, автомобильной
промышленности и самолетостроении. Чертежи требуют особой точности.
Чтобы ее добиться, используют...Конечно же дроби!
Никакой рецепт (даже самого простого) пирога не обходится без
пропорций. А ведь это те же самые дроби!
Мы убедили вас, что жизнь без дробей невозможна. Уверены, что вы
осознали: дроби значительно упрощают человеку жизнь, поэтому мы должны научиться понимать их. Или вы, до сих пор считаете, что это самые обычные числа?
Второй этап
Дроби Древнего мира
Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметиком!
М. Т. Цицерон
Аликвотные дроби
Именно их любили математики Древнего Египта и считали «настоящими»: 1/2; 1/3; 1/4 и т.д.
История возникновения
Единичные дроби или, как мы уже упоминали, аликвотные, начали использовать еще в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате деятельности человека. Например, при дележе еды между людьми. Второй существенной причиной их появления следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы.
Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда, написанный писцом Ахмесом в период XII династии Среднего царства. Он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
А также три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби - это Египетский математический кожаный свиток ( в Британском музее), Московский математический папирус ( в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве), Деревянная табличка Ахмима ( в Музее египетских древностей в Каире).
Каждую дробь египтяне стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.
Например: 2/7=1/6+1/14+1/21
Алгоритмы разложения дробей
I.
1)Умножаем числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы «новый» числитель стал минимально больше «старого» знаменателя.2)Числитель «новой» дроби раскладываем на слагаемые, чтобы они были делителями знаменателя.
3)Второе слагаемое представляем в виде суммы аликвотных дробей (повторяем первый и второй пункты).
II.
Если знаменатель - составное число1)Представляем числитель дроби в виде суммы знаменателя, плюс минимально возможный остаток
Иероглифы и что они значат
•Глаз «Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов, представляла собой дробь 63/64.
Каждая часть дроби представлена в виде суммы аликвотных дробей:63/64 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
•Слеза - 1/32 или 2/64
•Меньшая часть глаза - 1/16 или 4/64•Зрачок - 1/4 или 16/64
•Глаз с двумя чертами - 2/3
•Знак сокола - 1/64
•Большая часть глаза - 1/2 или 32/64
•Бровь - 1/8 или 8/64
•Глаз с двумя маленькими и одной большой чертами - 3/4
Египетские дроби продолжались использоваться и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания.
Гипотезы о возникновении шестидесятеричной системы счисления
По одной гипотезе (И.Н. Веселовский), она связана с применением счета на пальцах. Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927) о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причем было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел. И.Н.Веселовский выступил с критикой этой гипотезы, отметив, что шестидесятеричная система существовала у шумеров задолго до аккадского завоевания, ещё в IV тысячелетии до н. э.
Другие историки оспаривают это утверждение Веселовского и на основании археологических находок доказывают, что исконная числовая система шумеров (в IV тысячелетии до н.э.) была десятичной. Французский историк Жорж Ифра в своей классической монографии «Всеобщая история чисел» (1985) аргументировал мнение, близкое к гипотезе Веселовского: шестидесятеричная система есть результат наложения двух более древних систем — двенадцатеричной и пятеричной.
Археологические находки показали, что обе эти системы действительно
реально использовались, а шумерские названия чисел 6, 7 и 9 обнаруживают следы пятеричного счёта, видимо, наиболее древнего.
Из гипотез математиков становится ясно, что шестидесятеричная система возникла на основе ранее существовавшей другой системы счисления.
Приведенные выше гипотезы не объясняют, откуда возник позиционный принцип вавилонской нумерации.
Клинописные таблицы
В Древнем Вавилоне клинописные таблички без словесных пояснений использовались в основном в каких-то расписках и подсчетах, например - казны. Также, на протяжении тысячелетий, месопотамские писцы использовали клинопись для документирования ежедневных событий и деловых операций.
Происхождение римской системы дробей.
Она делилась на 12 долей. 1/12 асса называлась унцией. Для обозначения дробей существовало 18 названий. Приведем некоторые из них:
· семис — половина асса;
· секстанте — шестая доля асса;
· семиунция — пол-унции или 1/24 асса.
Неудобство такой системы заключалось в невозможности представить
число в виде дроби со знаменателем 10 или 100. Римские математики
преодолели трудность с помощью использования процентов.
Остатки римской системы дробей в устной речи
Из-за того что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателями 10 или 100, римляне затруднялись делить на 10, 100 и т.д. При делении 1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асе на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не "лихва составит 16 сотых суммы долга", а "на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы". И сказано то же самое, и дробей использовать не пришлось! Так как слова "на сто" звучали по-латыни "про центум", то сотую часть и стали называть процентом. И хотя теперь дроби, а особенно десятичные дроби, известны всем, проценты все-таки применяются и в финансовых расчетах, и в планировании, то есть в различных областях человеческой деятельности. А раньше применяли еще и промилли - так называли тысячные доли (по-латыни "про милле" - на тысячу). В отличие от процентов, которые обозначают знаком %, промилли обозначают %о. При активной работе с чем-либо, мы можем сказать, что "скрупулезно изучили данный вопрос". Это будет значить, что мы все точно поняли, и никаких неясностей не осталось. Слово "скрупулезно" произошло от римской дроби 1/288 асса, название которой - скрипулус.
Где применяются в наше время
Также познакомим вас с другими видами унций, использующимися в наше время:
· Тройская унция — 31,1034768 г. Применяется в банковском и
ювелирном деле для измерения массы драгоценных металлов. Термин
происходит из тройской весовой системы, которая широко использовалась в Европе вплоть до введения метрической системы
мер. В отличие от фунта авердюпуа, тройский фунт, состоял из 12 унций. В разных странах масса тройской унции несколько различалась.
С 1824 по 1858 год тройский фунт являлся основной весовой единицей
в Великобритании. Именно масса британской тройской унции
используется при торговле драгоценными металлами.
· Аптекарская унция (℥) — устаревший термин. Во многих странах,
кроме гражданской или коммерческой системы веса, аптекарями для
взвешивания лекарственных веществ использовался аптекарский вес.
Стандарты аптекарского веса варьировали в разных странах. Унция
была основной единицей аптекарского веса и её масса в разных
городах и странах колебалась от 25 до 35 граммов.
· В Нидерландах при переходе на метрическую систему мер в 1820 году
унция стала обозначать 100 г.
· Жидкая унция (американская) — имеет объем 29,573 531 мл.
Составляет 1 / 16 американской жидкой пинты (которая примерно равна
0,47 литра). В США исключительно для маркировки продуктов
питания жидкая унция приравнивается к 30 мл.
Жидкая унция (английская) — имеет объём 28,413 063 мл.
Составляет 1 / 20 английской пинты (равной 0,56826127 литра).
-В Древнем Египте употреблялись только дроби, у которых в числителе
стояла 1 (так называемые аликвотные). Поэтому древние египтяне все
остальные дроби старались записать как сумму аликвотных дробей.
Складывать, вычитать, умножать и делить такие дроби было очень
сложно. Для облегчения выполнения действий были созданы
специальные таблицы, которые надо было знать, понимать и уметь их
применять при вычислениях. Большой недостаток египетской системы
– сложность и трудоемкость при выполнении действий с аликвотными
дробями.
-В Древнем Вавилоне использовалась шестидесятеричная система дробей. По одной из гипотез возникновения этой системы: она появилась в результате особого пальцевого счета. Поэтому, эти дроби
были привычны в практической жизни. В этом отношении
шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными
дробями. Следы вавилонской системы можно встретить в нашей
современной жизни.
-В Древнем Риме использовались двенадцатеричные дроби. В этой
системе всего применялось 18 различных названий дробей. И чтобы
работать с такими дробями, надо было помнить и таблицу сложения и таблицу умножения для этих дробей. Для облегчения работы с
такими дробями были составлены специальные таблицы.
Таким образом мы можем сказать, что в плане практического
применения египетские и римские дроби были не удобны: надо было
запоминать специальные громоздкие таблицы, без которых
невозможно выполнять действия с дробями. Вавилонские дроби были
более просты и привычны в практической жизни. Они наиболее
широко сохранились и применяются в нашей повседневной жизни во
всем мире. Поэтому мы считаем, что вавилонская система дробей
является наиболее развитой.
Третий этап
Numeri fracti по-русски
Как исторически выстраивалась система древнерусских дробей?
Основными дробями являлись: ½ (ее еще называли полтина(половина), 1/3(треть), ¼(четь), 1/6(полтреть), 1/8(полчеть).
Такая система вычисления в древней Руси (ее еще называли славянская нумерация) употреблялась до 16 века,а поменялась с вязи с тем что к власти пришел Петр 1. Каорый стал вводить десятеричную систему счисления, которая и сохранилась до наших дней.
Особенности древнерусского речевого выражения правильных и смешанных дробей в доцифирной арифметике.
При выговаривании дробей имелись особенности: четвертая часть называлась четью,дроби со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием "ина"( седьмина), доли со знаменателем больше 10 - выговаривали со словом "жеребей"( пять одиннадцатых жеребьев).Числитель назывался верхним числом, а знаменатель - исподним.
Примеры
1/2 - половина, полтина
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8 - полчеть
1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть
1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)
1/5 – пятина
1/7 - седьмина
1/10 – десятина.
Сошная арифметика.
В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. При записи числа использовалась горизонтальная черта. В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси ... В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России 15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.
Инструменты и приемы
Большие цифры требовались для проведения торговых операций. И для облегчения их сложения применялись особые устройства – счеты, получившие название «дощаный счет».
Дощаный счет представлял собой два складывающихся ящика. Каждый ящик разгораживался надвое (позже только внизу); второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счета. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости.
Особенности
Как пишет историк Р.А. Симонов: «Первоначально «дощаный счет» был довольно громоздким прибором, содержащим четыре вычислительных поля, представлявших собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными счетными костяшками для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер емкостей и весов. В отличие от современных счетов, «дощаный счет» имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями». «Несмотря на внимание историков науки к «дощаному счету», он не до конца изучен», - сетует ученый. Поэтому мы не сможем его описать, лишь зафиксируем, что подобное счетное устройство существовало и скорее всего было предтечей привычных нам счет с костяшками.
Историки науки считают, что развитие торговли в XVI веке вызвало к жизни арифметические руководства. Знаток древнерусских книг А.И. Соболевский описывает два из них. «Счет греческих купцов, учат младых деток считать, имущих десять грань» - таблица умножения (Пифагорова таблица), входившая в состав псалтыри XVI в. И «Сия книга глаголема, по-гречески арифметика, а по-русски - цифирная счетная мудрость». Скорее всего, это были переделки с иностранных изданий, подогнанные под русские нужды.
Четвертый этап
В мире ломанных чисел
